微分几何

Posted on 2018-04-07

几何表面可以通过以下映射来表示:

1528962526225

这个映射函数的微分df, 用来说明如何映射平面中X向量到相应的曲面上的d(f)。通俗来说,如果平面M是一块橡胶板,黑色小段X。当M被拉伸成f(M)时,X这一段也发生了变化,变成df(X)

空间中切向量X的长度可以表示为:1528963015064

平面上我们区别性的表示为:1528963092399

df(X),df(Y)以内积后

1528963299127

g可以被叫做几何测度(metric)

法向量:

1528963484438

如果平面上法向量N都是一致的方向 ,那么M曲面就是定向的,否则就是不定向的(莫比乌斯带)

1528963704719

高斯映射:从欧式空间的曲面(必须是可定向的)到单位球面的映射

将物体表面每点的法向向量映射到一个单位球上,这个球称为高斯参考球(Gaussian Reference Sphere)。

映射过程是这样的,将法向的起点平移至高斯参考球的球心,每个法向量会与高斯参考球的球面有一个交点,这个交点就称为法向在高斯球上的高斯映像。

共形坐标(Conformal Coordinates)

至此就要提一下保距参数化映射(isometric parameterization.),我们希望X不要被“拉伸”:

1528964350580

但是实际中,保距映射是不存在的,就像我们不能把平面地图拍到球上去

1528964442533

既然保形不可能,那么就考虑保角(Comformal map)变换。就是在二维中的x,y垂直,那么曲面上的切向量df(x).df(y)也保持垂直。 1528965130971


蚊子再小也是肉~
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